Система счисления представляет собой набор символов и правил, которые позволяют представлять числовые данные. Современные системы нумерации являются позиционными системами, для которых характерно то, что символ имеет разное значение в зависимости от занимаемой им позиции в числе (узнать подробнее на https://ocomp.info/sistemyi-schisleniya-0001.html).
Преобразование между системами счисления выполняется на основе правил. Количество цифр, доступных в системе счисления, называется основанием, а наиболее часто используемым числовым представлением является позиционная запись (значение, присваиваемое символу в зависимости от позиции, в которой он находится в наборе символов).
Некоторые системы счисления:
- десятичная (основание 10);
- двоичная (основание 2);
- восьмеричная (основание 8);
- шестнадцатеричная (основание 16);
Десятичная система счисления
Обычно мы используем десятичную систему счисления, состоящую из десяти символов или цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9), которым присваивается значение в зависимости от положения. занимающие в цифре: единицы, десятки, сотни, тысячи и т. д.
Значение каждой цифры связано со степенью основания 10, числом, которое соответствует количеству символов или цифр десятичной системы, и показателем степени, равным позиции, занимаемой цифрой минус один, считая справа.
В десятичной системе число 528, например, означает:
5 сотен + 2 десятка + 8 единиц, то есть:
5×(10)^2 + 2×(10)^1 + 8×(10)^0 или, что то же самое:
500 + 20 + 8 = 528
В случае чисел с десятичными знаками ситуация аналогична, хотя в этом случае некоторые показатели степеней будут отрицательными, в частности, цифры, расположенные справа от десятичного разделителя. Например, число 8245,97 будет рассчитано как:
8 тысяч + 2 сотни + 4 десятка + 5 единиц + 9 десятых + 7 копеек
8×(10)^3 + 2×(10)^2 + 4×(10)^1 + 5×(10)^0 + 9×(10)^-1 + 7×(10)^-2 , то есть:
8000 + 200 + 40 + 5 + 0,9 + 0,07 = 8245,97
Двоичная система счисления
В двоичной системе счисления используются только две цифры: ноль (0) и единица (1).
В двоичном числе каждая цифра имеет разное значение в зависимости от того, какую позицию она занимает. Значение каждой позиции равно степени основания 2, возведенной в степень, равную разрядной позиции минус один. Видно, что, как и в случае с десятичной системой, основание степени совпадает с количеством цифр, используемых (2) для представления чисел.
Согласно этим правилам, двоичное число 1011 имеет значение, которое рассчитывается так:
1×(2)^3 + 0×(2)^2 + 1×(2)^1 + 1×(2)^0, то есть:
8 + 0 + 2 + 1 = 11
а чтобы выразить, что обе фигуры описывают одно и то же количество, запишем это так:
1011 2 = 11 10
Преобразование между десятичными и двоичными числами
Преобразовать десятичное число в двоичную систему очень просто: достаточно провести последовательные деления на 2 и записать полученные при каждом делении остатки в порядке, обратном тому, в котором они были получены.
Например, чтобы преобразовать число 77^10 в двоичную систему, мы выполним ряд делений, которые дадут следующие остатки:
77 : 2 = 38 Остаток: 1
38 : 2 = 19 Остаток: 0
19 : 2 = 9 Остаток: 1
9 : 2 = 4 Остаток: 1
4 : 2 = 2 Остаток: 0
2 : 2 = 1 Остаток: 0
1 : 2 = 0 Остаток: 1
и, взяв остатки в обратном порядке, получим двоичное число:
77^10 = 1001101 2
Размер двоичных цифр
Количество цифр, необходимых для представления числа в двоичной системе, больше, чем в десятичной системе. В примере из предыдущего абзаца для представления числа 77, которое в десятичной системе состоит всего из двух цифр, понадобилось семь двоичных цифр.
Для представления больших чисел потребуется гораздо больше цифр. Например, для представления чисел больше 255 потребуется более восьми цифр, потому что (2)^8 = 256, и поэтому мы можем сказать, что 255 — это наибольшее число, которое может быть представлено восемью цифрами.
Как правило, число может быть представлено n двоичными цифрами максимум 2 n.
Наибольшее число, которое можно записать из n цифр, на единицу меньше, то есть 2 n – 1.
Например, с помощью четырех битов можно представить 16 чисел, потому что (2)^4 = 16 , а наибольшее из этих чисел равно 15, потому что (2)^4 -1 = 15.